Les notations fléchées des grands nombres
Oui, je sais que j'utilise un peu trop ce bandeau de marge avec les chiffres...[Opérateurs de Knuth] [Chaînes de Conway]
![[Un grand nombre]](grand-nombre.jpg)
Pour écrire des nombres encore bien plus grands que ça...
Si je vous parle de grand nombre, il y a fort à parier que vous allez vous imaginer « des milliards de milliards » ou même « des milliards de milliards de milliards »... Ce sont certes des nombres jusqu'auxquels il est déjà impossible de compter, mais ce n'est rien comparé à ceux que vous allez entrevoir sur cette page.
Car il arrive un moment où les notations de tous les jours, celles qui sont enseignées à l'école à base de produits et de puissances telles que la « notation scientifique » ou la « notation ingénieur » ne suffisent plus.
On trouve déjà plusieurs pages (et même des vidéos sur YouTube) concernant ces notations, mais tout ce contenu est généralement succint... Il y a plein d'imprécisions, cela manque d'explications, ou de petits détails subtils qui aident à comprendre comment tout cela fonctionne. Et souvent des oublis ou même des erreurs. Cela inclut les articles Wikipédia...
Le but ici, c'est donc de faire mieux : tout détailler pour vous proposer la meilleure page Web sur les notations de Knuth et Conway !
Dans ce qui suit, toutes les variables sont des éléments de $ℕ^{*}$ sauf indication contraire.
Les opérateurs de Knuth
Il s'agit d'une généralisation de l'exponentiation, introduite par Donald Knuth en 1976.
La dénomination notation des flèches de Knuth se rencontre également.
Etant donnés $a, b∈ℕ{*}$, on définit l'opérateur de puissance $a^b$ de manière « naïve » par $a×a×...×a$ où on retrouve $b$ fois le nombre $a$ et $b-1$ multiplications. Dans d'anciens langages de programmation, $a^b$ était parfois noté $a↑b$.
On peut alors définir un nouvel opérateur $\text"↑↑"$ (double-flèche) d'une manière similaire :
$$a\text" ↑↑ "b=a↑a↑...↑a=a^{a^{^{·^{·^{·^{a}}}}}},\text " avec "b\text " exemplaires de "a$$
Par exemple on a $2\text" ↑↑ "4=2↑2↑2↑2=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^16=65536$. Ce n'est pas un hasard si Knuth a repris une notation héritée de l'informatique, on parle quand même de l'auteur de
TeX et de Metafont !
Un point important à noter lors de l'évaluation de telles expressions, c'est que malgré l'utilisation d'une notation sans parenthèses telle que $2↑2↑2↑2$, l'exponentiation n'est pas associative. La règle générale qui s'impose alors, lorsque l'on rencontre plusieurs opérations successives de priorité équivalente dans une même expression, c'est de les effectuer dans l'ordre de lecture. Cela conduit à une évaluation de droite à gauche, car pour calculer la première exponentiation, on commence par placer des parenthèses autour de son argument afin d'évaluer celui-ci, et ainsi de suite. On va alors obtenir :
$$2↑2↑2↑2=2↑(2↑2↑2)=2↑(2↑(2↑2))=2↑(2↑(4))=2↑(16)=2^16=65536$$
Une autre manière (plus propre d'ailleurs) de voir les choses, c'est de dire que l'opérateur ↑↑ définit un nombre par récurrence. Ainsi $p\text" ↑↑ "q$ est égal au terme de rang $q$ de la suite $(u_n)_{n≥1}$ définie par $u_1=p$, $u_{n+1}=p^{u_n}$. Cela croît extrêmement vite, car par exemple $10\text " ↑↑ "3$ est déjà égal à $10^{10^10}$ ce qui n'a l'air de rien, mais ça fait en réalité $10^{10\text " "000\text " "000\text " "000}$ c'est-à-dire dix élevé à la puissance dix milliards !
Est-ce que Knuth s'est arrêté là, en si bon chemin ? Non ! Il est maintenant possible de définir un opérateur triple-flèche en reprenant le même procédé, mais à partir de l'opérateur précédent :
$$a\text" ↑↑↑ "b=a\text " ↑↑ "a\text " ↑↑ "...\text " ↑↑ "a,\text " avec toujours "b\text " exemplaires de "a$$
Ou encore avec la définition par récurrence, plus rigoureuse :
$$p\text" ↑↑↑ "q\text " est le terme de rang "q\text " de la suite "(u_n)_{n≥1}\text " définie par "u_1=p, u_{n+1}=p\text " ↑↑ "u_n$$
A partir de là, il est déjà possible d'obtenir des nombres que l'on ne peut plus écrire autrement. Par exemple $3\text " ↑↑↑ "3$ vaut donc $3\text " ↑↑ "3\text " ↑↑ "3$, et vu que $3\text " ↑↑ "3$ vaut $3^{3^3}=3^27=7\text " "625\text " "597\text " "484\text " "987$, on obtient $3\text " ↑↑↑ "3=3\text " ↑↑ "(3\text " ↑↑ 3")=3\text " ↑↑ "7\text " "625\text " "597\text " "484\text " "987$ c'est-à-dire une « tour » de puissances de $3$ sous la forme $3^{3^{^{3^{·^{·^{·}}}}}}$ avec plus de 7625 milliards d'exposants !!
L'opérateur ↑↑ est parfois appelé tétration, et l'opérateur ↑↑↑, pentation. Egalement, les notations ${\text " "}^ba$ pour $a\text" ↑↑ "b$ et ${\text " "}_ba$ pour $a\text" ↑↑↑ "b$ se rencontrent de temps en temps. Ainsi $10\text" ↑↑ "3$ peut se lire « dix tétration trois » et $3\text " ↑↑↑ "3$, « trois pentation trois ».
Comme vous vous en doutez, il n'y aucune raison de ne pas continuer. Sans l'infini, les maths ne seraient pas les maths. On peut définir un opérateur quadruple-flèche ↑↑↑↑ en itérant à nouveau la pentation, et ainsi de suite. Les opérateurs successifs peuvent alors se noter $\text " ↑"^{n}$. Oui, on met des exposants dans les flèches, ça devient de la folaye.
Tous ces opérateurs reviennent, à la finale, à élever le nombre à gauche de l'opérateur à une puissance gigantesque.
Précisément, l'opérateur générique de Knuth d'ordre $q$ peut se définir ainsi, par double récurrence sur $p≥0$ et $q≥1$, avec $a∈ℕ$ :
$$a\text " ↑"^{q}\text " "p=\{\table a^p, \text "si "q=1; 1, \text "si "p=0; a\text " ↑"^{q-1}\text " "(a\text " ↑"^{p}\text " "(p-1)), \text "sinon"$$
On précise tout de même que si $a=p=0$, l'expression n'est pas définie (et non, ça ne vaut pas $1$). On choisit aussi de ne pas définir non plus d'opérateur « zéro flèche », ce qui serait quelque peu ambigu.
A partir de cette définition, on peut établir quelques petites propriétés triviales. Outre le fait que $a\text " ↑"^{n}\text " "0=1$ (avec $a≠0$) qui en découle directement, on voit aussi que $a\text " ↑"^{n}\text " "1=a$, $1\text " ↑"^{n}\text " "b=1$ et $0\text " ↑"^{n}\text " "b=0$ (avec $b≥1$). Mais un résultat auquel on ne s'attend pas au premier abord, c'est le suivant :
$$2\text " ↑"^{n}\text " "2=2\text " ↑"^{n-1}\text " "2=2\text " ↑"^{n-2}\text " "2=...=2\text " ↑↑ "2=2^2=4$$
Autrement dit, $2\text " ↑"^{n}\text " "2$ est toujours égal à 4 quel que soit l'ordre $n$ de l'opérateur, et cela va nous servir pour la partie suivante... Oui car au cas où vous aviez des doutes, il ne s'agissait là que de l'apéritif ! Maintenant nous allons passer aux choses sérieuses !!
Les chaînes de Conway
Après les flèches verticales, passons maintenant aux flèches horizontales !
La notation des flèches chaînées, introduite par John Horton Conway (1937-2020), se présente sous la forme d'une séquence de valeurs de $ℕ^{*}$ séparées par des flèches, telle que $4→3→11→8$. C'est ce qu'on appelle une chaîne. On définit sa valeur de manière récursive avec les trois règles suivantes.
Pour toute chaîne $C$ (éventuellement réduite à un seul élément), ainsi que pour $p≥2$ et $q≥2$, par définition :
- $p→q=p^q$
- $C→1→q=C→1=C$
- $C→p→q=C→(C→(p-1)→q)→(q-1)$
Il faut ensuite répéter le processus jusqu'à avoir réduit l'élément central des sous-chaînes successives à $1$. L'évaluation de l'imbrication de celles-ci conduit alors à l'obtention d'une chaîne de la forme $C→r→(q-1)$ où $r$ est un nombre beaucoup plus grand que $p$ et $q$.
On reprend à partir de là, avec un nouveau développement menant à $C→s→(q-2)$, jusqu'à avoir également réduit l'élément final à $1$, ce qui condense l'expression en $C→n$ où $n$ est un nombre généralement gigantesque.
Si $C$ est de longueur supérieure ou égale à $2$, elle s'écrit $C=D→k$ avec une certaine chaîne $D$ et un $k≥2$, et il faut alors poursuivre avec $D→k→n$.
Au global, il s'agit donc d'une triple récursion, qui conduit à réduire progressivement les chaînes de Conway par la droite, en transformant $a_1→a_2→...→a_n→b$ en $a_1→a_2→...→a_{n-1}→c$, puis en $a_1→a_2→...→a_{n-2}→d$, etc.
Il est possible d'expliciter de manière (encore à peu près) lisible ce à quoi ressemble l'expression après la première des récursions, une fois que $p$ n'apparaît plus et que toutes les occurences de $q$ ont été remplacées par $(q-1)$ :
$$C→p→q=C→(C→(...C→(C→(C)→(q-1))→(q-1)...)→(q-1))→(q-1)\text " avec "p\text " copies de la chaîne "C\text " et "p-1\text " exemplaires de "(q-1)$$
Cette expression peut être utilisée directement dans les cas les plus simples.
Les parenthèses autour du $C$ au milieu de cette expression sont très importantes. Si $C=a→b$ alors l'élément central de ce développement total est $a→b→(a→b)→(q-1)$ ce qu'il ne faut pas confondre avec la version sans parenthèses, ce sera précisé ci-après plus en détail.
Tout comme pour les opérateurs de Knuth, une chaîne commençant par $a$ est toujours une puissance entière du nombre $a$.
Exemple de développement d'une chaîne, pour mieux comprendre – cliquez pour afficher
Tout cela peut paraître assez obscur au premier abord, mais ça se comprend bien en pratiquant. On va par exemple chercher à évaluer l'expression :
$$2→4→3$$
Je vais détailler au maximum, donc il va y avoir de la lecture ! Mais au moins cela vous permettra de bien saisir le fonctionnement de la notation de Conway, ce qui est vraiment trop survolé dans toutes les autres documentations qu'on peut trouver sur Internet.
Dans un premier temps, on va procéder pas à pas, en n'utilisant que les trois règles de la définition ci-dessus.
On prend donc pour $C$ le seul nombre 2 de tête, puis on développe la chaîne suivant la règle n° 3, en remplaçant le $4$ par une copie modifiée de la chaîne d'origine, dans laquelle ce $4$ est remplacé par $3$, en faisant suivre le tout de $3-1=2$.
$$2→4→3=2→(2→3→3)→2$$
Détaillons maintenant toutes les étapes suivantes :
$$\table 2→4→3, =, 2→(2→3→3)→2; , =, 2→(2→(2→2→3)→2)→2; , =, 2→(2→(2→(2→1→3)→2)→2)→2$$
Cette première phase du développement est termnée, l'élément central des sous-chaînes successives ayant été réduit à $1$. On peut maintenant utiliser la règle n° 2 pour écrire :
$$\table 2→4→3, =, 2→(2→(2→(2→1→3)→2)→2)→2; , =, 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2$$
On obtient un élément central $2→2→2$ qu'on va pouvoir évaluer, en le développant également. Cette sous-chaîne a pour dernier élément $2$, le développement va donc faire apparaître des $1$, qu'on simplifie au fur à et à mesure.
$$\table 2→2→2, =, 2→(2→1→2)→1; , =, 2→(2)→1; , =, 2→2$$
Et en application de la règle n° 1, $2→2=2^2=4$. On peut maintenant reporter :
$$\table 2→4→3, =, 2→(2→(2→2→2)→2)→2; , =, 2→(2→(4)→2)→2$$
Que vaut la chaîne $2→4→2$ ?
$$\table 2→4→2, =, 2→(2→3→2)→1; , =, 2→(2→(2→2→2)→1)→1; , =, 2→(2→(2→2→2)); , =, 2→(2→(4))$$
Par double application de la règle n°1, $2→(2→4)=2→2^4=2^{2^4}$, ce qu'on peut écrire sous la forme $2^{2^{2^{2}}}=2\text " ↑↑ "4=65536$. En replaçant $2→4→2$ par sa valeur dans le développement de $2→4→3$, cela achève la première récursion, qui a permis d'obtenir :
$$2→4→3=2→(2→4→2)→2=2→65536→2$$
En reprenant les notations du paragraphe explicatif de la définition, $p=4$ et $q=3$ ont donc été remplacés par $r=65536$ et $q-1=2$.
On peut invoquer maintenant directement l'écriture directe du développement total, car tout va se simplifier gentiment :
$$2→65536→2=2→(2→(...\text " "2→(2→(2)→1)→1\text " "...)→1)→1,\text " avec 65536 occurences de 2"$$
Toujours avec les notations vues plus haut, ici $C=2$, $p=65536$ et $q=2$.
Une fois tous les « $1$ » retirés, on a une chaîne ressemblant à $2→(...→(2→(2→(2→2))))$ qui peut aussi s'écrire $2↑(...↑(2↑(2↑(2↑2))))$. C'est une tour de puissances de $2$ de la forme $2^{2^{^{·^{·^{·^{2}}}}}}$ avec 65536 exposants (!) La valeur de $2→65536→2$ correspond donc à celle d'une autre tétration : $2\text " ↑↑ "65536$.
En reprenant $65536=2\text " ↑↑ "4$, puis en remarquant que 4 peut être remplacé par $2\text " ↑↑ "2$, on fait apparaître $2→65536→2=2\text " ↑↑ "2\text " ↑↑ "2\text " ↑↑ "2$, ce qui correspond à l'écriture développée de $2\text " ↑↑↑ "4$, soit 2 pentation 4.
Notre beau résultat final que l'on peut écrire fièrement est alors :
$$2→4→3=2\text " ↑↑↑ "4$$
Il est évidemment impossible d'essayer d'obtenir une valeur numérique explicite pour cette tour de dizaines de milliers d'exposants !
Très généralement, les chaînes de Conway à trois éléments sont toujours reliées à l'opérateur de Knuth par l'égalité :
$$a→b→n=a\text " ↑"^{n}\text " "b$$
Pour tous $a≥2$, $b≥2$ et $n≥1$.
(Pour être tout à fait précis on peut étendre cela aux cas où $a=1$ ou $b=1$, bien que cela soit quelque peu inintéressant.)
Démonstration de cette égalité, faisant le lien entre les deux notations – cliquez pour afficher
Généralement je n'aime pas trop ajouter des démonstrations à mes pages de maths, car je trouve que ça fait un peu trop « cours magistral »... On fait des maths divertissantes ici ! Mais je fais une exception pour cette fois, car elle est très didactique et intéressante ! Concrètement, si vous arrivez à la faire vous-même, c'est que vous avez compris l'essentiel de ce qu'il a à savoir sur ces notations. De plus elle semble absolument introuvable sur Internet... Exclusivité TheRaphit !
Il est possible de rédiger une preuve plus courte, mais à nouveau je préfère détailler.
On peut procéder par récurrence sur $n$, et avec une descente d'entier sur $b$.
Pour $n=1$ et $a≥2$, $b≥2$ quelconques, $a→b→1=a→b=a^b$ par les règles n° 1 et n° 2 de la définition. Et on a bien évidemment $a\text " ↑"^{1}\text " "b=a^b$.
Supposons la propriété vraie au rang $n$. On va donc s'intéresser à la chaîne $a→b→(n+1)$ qu'on va développer.
$$\table a→b→(n+1), =, a→(a→(b-1)→(n+1))→(n+1-1); , =, a→(a→(b-1)→(n+1))→n$$
Posons $N_1=a→(b-1)→(n+1)$, l'élément central de cette dernière expression. Alors $a→b→(n+1)$ se réécrit donc $a→N_1→n$, c'est-à-dire $a\text " ↑"^{n}\text " "N_1$, d'après l'hypothèse de récurrence.
Développons maintenant la chaîne de $N_1$ :
$$\table a→(b-1)→(n+1), =, a→(a→(b-2)→(n+1))→(n+1-1); , =, a→(a→(b-2)→(n+1))→n$$
On obtient en élément central une expression très similaire à celle de $N_1$, et on peut noter ce nombre $N_2$. Et à nouveau d'après l'hypothèse de récurrence, on a $N_1=a\text " ↑"^{n}\text " "N_2$.
On peut poursuivre de la sorte, jusqu'à obtenir le nombre $N_{b-1}=a→(a→(b-(b-1))→(n+1))→n$ ce qui se simplifie en $a→(a→1→(n+1))→n$ puis en $a→a→n$ ou encore $a\text " ↑"^{n}\text " "a$ (hypothèse de récurrence, à nouveau).
Si l'on rassemble toutes ces différentes étapes, avec le $a\text " ↑"^{n}\text " "N_{1}$ initial, les $N_{p-1}=a\text " ↑"^{n}\text " "N_{p}$ où $2≤p≤(b-2)$, et le $N_{b-1}=a\text " ↑"^{n}\text " "a$ final, on obtient une écriture de l'expression $a→b→(n+1)$ qu'on cherche à évaluer en « cascade » :
$$\table a→b→(n+1), =, a\text " ↑"^{n}\text " "N_1; , =, a\text " ↑"^{n}\text " "(a\text " ↑"^{n}\text " "N_2); , =, a\text " ↑"^{n}\text " "(a\text " ↑"^{n}\text " "(a\text " ↑"^{n}\text " "N_3)); , =, ...; , =, a\text " ↑"^{n}\text " "(a\text " ↑"^{n}\text " "(a\text " ↑"^{n}(\text " "...\text " ↑"^{n}(a\text " ↑"^{n}\text " "a))...)),\text "avec "b\text " occurences de "a$$
Suivant l'ordre des parenthèses, cette expression est évaluée de la fin vers le début (droite vers gauche) c'est-à-dire dans l'ordre naturel des opérations.
Par conséquent :
$$a→b→(n+1)=a\text " ↑"^{n}\text " "(a\text " ↑"^{n}\text " "(a\text " ↑"^{n}(\text " "...\text " ↑"^{n}(a\text " ↑"^{n}\text " "a))...))=a\text " ↑"^{n}\text " "a\text " ↑"^{n}\text " "...\text " ↑"^{n}\text " "a$$
Et vu que, par définition :
$$\table a\text " ↑"^{n}\text " "a\text " ↑"^{n}\text " "...\text " ↑"^{n}\text " "a, =, a\text " ↑"^{n+1}\text " "b, ; b\text " fois", , , $$
On en déduit :
$$a→b→(n+1)=a\text " ↑"^{n+1}\text " "b$$
Ce qu'il fallait démontrer™.
Petit cadeau bonus ! Maintenant qu'on a le résultat on peut remarquer que :
$$\table a→b→n, =, a→(a→(b-1)→n)→(n-1); , =, a→(a\text " ↑"^{n}\text " "(b-1))→(n-1); , =, a\text " ↑"^{n-1}\text " "(a\text " ↑"^{n}\text " "(b-1))$$
On retrouve bien la définition par récurrence de l'opérateur $\text " ↑"^{n}\text " "$ que l'on a vue précédemment avec $n$ à la place de $q$ et $b$ à la place de $p$.
Une conséquence intéressante c'est que puisque $2→2→n=2\text " ↑"^{n}\text " "2=4$ (ce qu'on a vu en fin de première partie), toute chaîne de la forme $2→2→C$ vaut donc $4$. Car étant donné qu'on réduit les chaînes par le côté droit, on obtiendra toujours $2→2→n$ au bout d'un nombre plus ou moins long d'étapes.
Cependant, un des points les plus importants à intégrer, c'est que dans le cas général, ce chaînage de flèches n'est pas un opérateur. Une chaîne ne peut s'interpréter que de manière globale, à l'inverse des expressions comportant des symboles $×$ ou $↑$. Et il n'y a aucune « associativité ».
En particulier, $a→b→c→d$ n'est PAS égal à $a→b→(c→d)$ ou autre variante. C'est la raison pour laquelle, dans l'expression du développement total, il faut conserver les parenthèses autour de la dernière copie de $C$, car $a→b→(a→b)→n≠a→b→a→b→n$. J'ai même vu certaines vidéos affirmant que $a→b→c→d$ s'interprète comme étant $a→(b→c→d)$ ce qui est totalement faux.
![[Extrait de vidéo YouTube]](yt-conway.jpg)
Extrait de la vidéo The 7 Levels of Big Numbers
J'ai fouillé les commentaires, personne n'a relevé l'erreur...
La notation de Conway ne peut pas se réécrire trivialement sous la forme d'opérateurs de Knuth dès que l'on atteint un certain niveau de chaînage, et c'est bien là tout son intérêt : c'est comme cela qu'elle permet d'exprimer des nombres qui dépassent de loin ce qu'on peut humainement écrire avec $\text " ↑"^{n}$.
Voyons maintenant quelques petits exemples de chaînes à quatre éléments, ce qui va illustrer ce qui précède !
Le plus simple est $a→b→2→2$. Pour développer cette chaîne, nous allons devoir remplacer l'avant-dernier $2$ :
$$\table a→b→2→2, =, a→b→(a→b→1→2)→1; , =, a→b→(a→b); , =, a→b→a^b; , =, a\text " ↑"^{a^b}\text " "b$$
Oui, l'ordre de cet opérateur est bien $a^b$, ça ne rigole pas... Maintenant, ne pas croire que ça se généralise gentiment avec un $a→b→3→2$ qui vaudrait quelque chose comme $a→b→(a\text " ↑↑ "b)$ parce que ce n'est pas le cas :
$$\table a→b→3→2, =, a→b→(a→b→2→2)→1; , =, a→b→(a→b→a^b); , =, a→b→(a\text " ↑"^{a^b}\text " "b)$$
L'ordre de l'opérateur est maintenant le nombre du premier exemple. Et la librairie jqMath arrive même à nous afficher « la chose » !
$$a→b→3→2=a\text " ↑"^{a\text " ↑"^{a^b}\text " "b}\text " "b$$
On va s'amuser à la mettre au défi, et cette fois on va prendre un cas concret, sans paramètres ! Par exemple $7→5→4→2$, à laquelle on va appliquer directement la formule du développement total. On recopie donc cinq fois $7→6$ de manière imbriquée, et on fait suivre les parenthèses fermantes par des $1$ :
$$7→6→5→2=7→6→(7→6→(7→6→(7→6→(7→6)→1)→1)→1)→1$$
Après avoir éliminé ces $1$, on peut commencer à évaluer les termes avec les opérateurs de Knuth :
$$\table 7→6→5→2, =, 7→6→(7→6→(7→6→(7→6→7^6))); , =, 7→6→(7→6→(7→6→7\text " ↑"^117649\text " "6)); , =, 7→6→(7→6→7\text " ↑"^{7\text " ↑"^117649\text " "6}\text " "6); , =, 7→6→7\text " ↑"^{7\text " ↑"^{7\text " ↑"^117649\text " "6}\text " "6}\text " "6; , =, 7\text " ↑"^{7\text " ↑"^{7\text " ↑"^{7\text " ↑"^117649\text " "6}\text " "6}\text " "6}\text " "6$$
Ah oui, c'est une dinguerie absolue, ça croît extrêment vite, et ça en devient difficilement lisible... Mais jqMath assure ! Néanmoins si vous êtes sur un appareil mobile, il vous faudra sûrement zoomer pour arriver à lire. 😅
Maintenant pour la rigôlad, on peut comparer par rapport aux versions « parenthésées » de YouTube, histoire de constater que ça n'a rien à voir ! 😜
$$\table 7→6→(5→2), =, 7→6→5^2; , =, 7\text " ↑ "^{25}\text " "6$$
C'est certes beaucoup, mais nettement moins. Avec maintenant les parenthèses autour de la tête de chaîne cela donne :
$$\table (7→6)→5→2, =, 7^6→5→2; , =, 117649\text " ↑↑ "5$$
L'exemple suivant correspond au cas de l'élément central dont on a parlé ci-dessus.
$$\table 7→(6→5)→2, =, 7→6^5→2; , =, 7\text " ↑↑ "7776$$
Et bien sûr le meilleur pour la fin :
$$\table 7→(6→5→2), =, 7→6\text " ↑↑ "5; , =, 7^{6\text " ↑↑ "5}$$
Il est aisé de voir à quel point ce dernier nombre est beaucoup plus petit que $7→6→5→2$.
Et pour les chaînes de quatre nombres avec un élément final égal à $3$ telles que $a→b→2→3$ ? N'y pensez même pas, c'est absolument impossible d'exhiber une expression lisible sous la forme d'un opérateur de Knuth pour exprimer ces engins... 😲
Ces notations servent-elles vraiment ?
Tout cela n'est-il qu'un sympathique délire (Donald Knuth est bien connu pour son tempérament facétieux) ou est-ce que ça a une utilité pratique ? Dans notre vie de tous les jours... Clairement non. Mais pour les mathématiciens, ces notations sont réellement utiles car certains de leurs travaux font parfois appel à de tels nombres gargantuesques.
Je vous ai ajouté quelques liens externes vers deux cas parmi les plus fameux, avec un résumé pour chacun d'entre eux.
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Le nombre de Graham
Il est célèbre pour avoir été le plus grand nombre a avoir été utilisé dans une démonstration mathématique issue d'un authentique travail de recherche.
Sa définition consiste à d'abord considérer la suite $(g_n)_{n∈ℕ}$ suivante :
$$g_0=4,\text " "g_{n+1}=3\text " ↑"^{g_n}\text " "3$$
Oui, la récurrence est fondée sur le nombre de flèches, c'est n'importe quoi. 😂 Sachant que ça donne dès le premier rang $g_1=3\text " ↑↑↑↑ "3$ et qu'on ne pouvait déjà pas écrire $3\text " ↑↑↑ "3$ avec ses milliers de milliards d'exposants... A partir de $g_2$, on ne peut plus rien écrire avec les opérateurs de Knuth.
Le nombre de Graham, qu'on note $G$, est pourtant...
$$G=g_64$$
Et c'est avec ce nombre que Conway a illustré l'utilisation de sa notation, en fournissant l'encadrement désormais bien connu :
$$3→3→64→2<G<3→3→65→2$$
Comme vous le constatez, malgré l'énormité inimaginable de $G$, ces chaînes se terminent par un $2$. Conway conclut alors que $3→3→3→3$ est beaucoup, mais beaucoup plus grand que le nombre de Graham... -
La fonction du castor affairé
Cette fonction, que l'on note $\BB$ (pour busy beaver) apparaît dans l'étude des machines de Turing. $\BB(n)$ désigne le nombre maximal de pas qu'effectue une telle machine à deux symboles et $n$ états avant de s'arrêter... Lorsqu'elle s'arrête. Et de fait, toute machine à $n$ états ne s'étant pas arrêtée après $\BB(n)$ étapes ne s'arrêtera jamais.
Etant donné que l'on peut modéliser la cohérence des théories mathématiques et la véracité des preuves par des machines de Turing qui s'arrêtent ou non, évaluer la fonction $\BB$ présente un certain intérêt. Mais cette fonction croît extrêmement rapidement.
Il est évident que $\BB(1)=1$, on peut prouver assez facilement que $\BB(2)=6$, $\BB(3)=21$ et beaucoup plus difficilement que $\BB(4)=107$. Pour $\BB(5)$ il n'a pas été possible d'effectuer de démonstration, mais grâce à un effort collaboratif testant toutes les machines au comportement non trivial, on sait depuis 2024 que $\BB(5)=47\text " "176\text " "870$.
Que vaut $\BB(6)$ ? Personne n'en sait rien, mais en 2022 un minorant a été obtenu :
$$\BB(6)>10\text " ↑↑ "15$$
On a vu dans la partie sur les opérateurs de Knuth que $10\text " ↑↑ "3$ vaut déjà $10^{10\text " "000\text " "000\text " "000}$, et que par conséquent, $10\text " ↑↑ "4=10^{10\text " ↑↑ "3}$ et ainsi de suite. Alors je vous laisse imaginer...
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