Les nombres ordinaux

Pour compter jusqu'à l'infini... Plusieurs fois

[Illustration des ordinaux]

En hommage à Chuck Norris (1940-2026)

Chuck Norris n'est pas mort...
Il a pris congé du monde des vivants, pour une retraite bien méritée !

[Ensembles bien ordonnés] [Une construction d'infinis en gigogne] [Opérations sur les ordinaux]
[La subtilité des cardinaux infinis] [Hiérarchie de croissance rapide]

L'infini n'est pas unique... Il est multiple.

Dans le monde des entiers naturels, il y a équivalence entre compte et positionnement. Ajouter un premier élément à un ensemble initialement vide, puis un deuxième, etc. jusqu'à un dixième élément vous donnera un ensemble... De dix éléments. Mais avec l'infini, ce schéma ne fonctionne plus.

Il peut s'avérer alors nécessaire de construire de nouveaux objets permettant de distinguer les différents ensembles infinis auxquels on a ajouté des éléments supplémentaires, bien plus finement que de simplement dire « c'est toujours l'infini ».

C'est ici qu'interviennent les ordinaux, qui permettent - tout comme Chuck Norris - de continuer à compter au-delà de l'infini...

Les formules sur cette page sont écrites à l'aide de jqMath - un guide en est disponible sur mon site.

Ensembles bien ordonnés

C'est le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) qui a rencontré le premier cette problématique de hiérachisation des ensembles infinis. En vrai qui d'autre aurait pu, lorsque l'on parle de l'infini ? Par la suite, John von Neumann (1903-1957) formalisera la notion de « bon ordre » permettant de poser un cadre théorique à ce qu'avait conceptualisé Cantor, mais sans que cela ne provoque de paradoxes.

On appelle ordinal un ensemble $α$ strictement bien ordonné pour l'appartenance, c'est à dire qu'il vérifie :

Pour tout $x∈α$, on a $x⊂α$ et $x∉x$
Pour tous $x,y,z∈α$, si $x∈y$ et $y∈z$ alors $x∈z$
Pour tout $z⊂α$ non vide, alors $z$ possède un plus petit élément : il existe un $x∈z$ tel que pour tout $y∈z$, alors $x∈y$ ou $x=y$.

En quelque sorte, un ordinal est un ensemble « poupée russe » : une imbrication parfaite avec des sous-ensembles qui partagent les mêmes propriétés que le tout, de la même façon que les cinq poupées les plus petites d'un ensemble de sept sont déjà en elles-même un jouet à part entière.

[Poupées russes]

L'inclusion $⊂$ dans un ordinal α est une relation d'ordre classique, c'est à dire réflexive, antisymétrique et transitive. L'ensemble $(α,⊂)$ est même totalement ordonné car dans un bon ordre, deux éléments sont toujours comparables : $\{x,y\}$ a un plus petit élément.

Le plus petit ordinal est l'ensemble vide $∅$, ordonné par son unique relation : $(∅,∅)$.

Les ordinaux permettent de définir rigoureusement les entiers naturels :

Le nombre « zéro » est défini comme étant l'ensemble vide : $0=∅$.
L'entier $1$ est défini par $0∪\{0\}=\{∅\}$, soit l'ensemble contenant pour seul élément l'ensemble vide $∅$
$2$ est défini par $1∪\{1\}=\{0,1\}=\{∅, \{∅\}\}$
$3=2∪\{2\}=\{0,1,2\}$
...

On remarque que $0∈3$, $1∈3$ et $2∈3$ mais aussi que $0⊂1⊂2⊂3$. Plus formellement, on définit l'application $S$ « successeur » par $S\text " : "n↦n∪\{n\}$. On a ainsi $S(0)=1$, $S(1)=2$. Plus généralement, $n∈S(n)$ ou de manière équivalente $n⊂S(n)$. Chaque nouvel ensemble construit est un ordinal vérifiant la définition ci-dessus.

L'entier $S(n)$ est donc l'ensemble qui contient $0$, puis $1$, puis $2$, ... Jusqu'à $n$, à la manière d'un jeu de poupées russes.

$$S(n)=\{0,1,2,...,n\}\text " ou encore "0⊂1⊂2⊂...⊂n⊂S(n)$$
Evidemment, $S(n)=n+1$. Mais à ce stade on n'a pas encore défini l'addition des entiers. Il s'agit de la première étape, car une fois cela posé on passe à $n+2$ qui est le successeur du successeur de $n$ ou encore $n+2=S(S(n))=S(n)+1=(n+1)+1$ et ainsi de suite, jusqu'à obtenir de proche en proche $n+p$ avec $p$ quelconque.

Ah oui, rendez-vous compte que l'on ne vous avait jamais défini les nombres en cours de mathématiques à l'école ! Avouez que c'est quand même assez balo...

Par suite, on est amené assez logiquement à s'intéresser à la clôture de l'application $S$, c'est-à-dire à tous les objets que l'on peut obtenir à partir du point de départ $0=∅$ puis d'une itération d'un nombre quelconque de fois de $S$. Autrement dit, à la classe de tous les ordinaux finis.

A partir de là, il est nécessaire d'introduire un axiome pour admettre que cette classe est un ensemble. Sans entrer dans les détails, sachez qu'on ne peut pas systématiquement considérer qu'une propriété mathématique (telle que « être un ordinal ») définit un ensemble car cela peut mener à des inconsistances.

Ici ce n'est pas le cas, et on peut obtenir ainsi par clôture de $S$ le premier ordinal transfini (dans le sens de « non fini »). On le note $ω$, et il a la particularité de n'avoir aucun prédécesseur dans le bon ordre qu'il représente, au contraire d'un ordinal fini non vide $n$, qui lui en a toujours un.

Le prédicat dans la théorie des ensembles dite « ZF », postulant que $ω$ peut être considéré comme faisant partie de cette même théorie, s'appelle justement axiome de l'infini.

$$ω=\{0,1,2,3,...\}$$
Il constitue la « poupée russe finale » de tous les entiers naturels. Accessoirement $ω$ est aussi le plus petit ensemble infini.

Factuellement, $ω$ est l'ensemble $ℕ$ - et même plus précisément, $ω=(ℕ,≤)$, l'ensemble des entiers naturels muni de son ordre usuel, qui se trouve être un bon ordre. Néanmoins en théorie des ordinaux on conserve la dénomination $ω$ - ces ensembles étant traditionnellement notés avec des lettres grecques.

Car on ne va évidemment pas s'arrêter là...

Une construction d'infinis en gigogne

Puisque $ω$ est maintenant un ensemble, on peut également utiliser les autres axiomes de ZF afin de construire de nouveaux objets, qui seront aussi des ensembles. Ainsi, l'axiome de la paire permet d'obtenir l'ensemble $\{ω\}$ et l'axiome de la réunion le successeur de $ω$ que l'on va noter directement $ω+1$ :

$$ω+1=S(ω)=ω∪\{ω\}$$
Vous l'avez compris, on peut de la même manière définir de nombreux successeurs $ω+2$, $ω+3,...,ω+n$ de $ω$.

L'ensemble $ω$ est aussi appelé premier ordinal limite, rappelant qu'il n'a pas de précédesseur, au contraire de $ω+1$ et suivants. Avec ce qu'on appelle le « schéma d'axiomes de remplacement » de la théorie ZF on peut obtenir le prochain ordinal limite, l'ensemble de tous les $ω+n$. On peut le noter $ω+ω$ ou $ω2$ - oui ici le chiffre $2$ suit la lettre $ω$, et ce n'est pas non plus un indice - ne vous inquétez pas, c'est expliqué dans la partie suivante.

Vous le voyez arriver, on poursuit de même jusqu'à arriver à un $ω3$, puis à un $ωn$... Et enfin jusqu'à l'ordinal limite $ωω$ qu'on peut noter lui de manière plus habituelle $ω^2$.

Mais à quoi diable cela ressemble-t-il en pratique ? Eh bien on peut par exemple s'intéresser à l'ensemble $ℕ^{2}$ que l'on munit d'une relation d'ordre $≺$ qui range les couples d'entiers naturels en comparant le premier entier, puis le second. C'est-à-dire que :

$$(0,0)≺(0,1)≺...≺(0,n)≺...≺(1,0)≺(1,1)≺...≺(2,0)≺...≺(n,0)≺...$$
L'élément $(1,0)$ n'a aucun prédécesseur et il se place après une infinité d'entiers. Il est suivi par $(1,1)$ puis $(1,2)$, etc. On voit alors que $(1,0)$ « correspond » à $ω$, puis $(1,1)$ à $ω+1$, $(n,0)$ à $ωn$ et ainsi de suite. On dit alors que l'ensemble ordonné $(ℕ^{2},≺)$ est un bon ordre de type $ω^2$.

Plus généralement - et c'est là que ça devient intéressant - pour tout ensemble bien ordonné $(E,≤)$, fini ou infini, il existe toujours un ordinal $α$ qui lui est équivalent. En termes mathématiques précis et rigoureux : il existe un isomorphisme d'ordres (une application bijective croissante) entre $(E,≤)$ et $(α,⊂)$.

Egalement, deux ordinaux α et β construits différemment mais liés par un tel isomorphisme peuvent-être considérés comme étant égaux et on écrira que $α=β$, même s'il ne contiennent pas des éléments identiques, à proprement parler. Pour les puristes, je précise que dans la théorie de von Neumann, les ordinaux sont des classes d'isomorphie entre ensembles bien ordonnés, et que c'est donc tout à fait légitime d'écrire cela.

C'est à partir de ce moment-là qu'on peut réellement parler de compter au-delà de l'infini.

On peut bien sûr poursuivre après $ω^2$ pour obtenir $ω^3$ puis $ω^n$ et enfin $ω^ω$, ce qui est figuré par l'image d'illustration de cette page, celle à gauche du grand Chuck. Cela correspond plus ou moins à compter une infinité d'une infinité de fois... Jusqu'à l'infini !!

Si vous voulez un exemple concret d'ordre de type $ω^ω$, vous pouvez considérer l'ensemble des suites d'entiers $(u_n)_{n∈ℕ}$ à support fini, c'est à dire ne comportant qu'un nombre fini d'éléments non nuls, ordonné par une relation similaire à ≺ ci-dessus, où on considère une suite comme un « $∞$-uplet » d'entiers de la forme $(u_0,u_1,...,u_n,...)$ que l'on range suivant $u_0$, puis $u_1$, etc.

Opérations sur les ordinaux

Ces notations ne sont-elles que de simples conventions d'écriture ou bien y a-t-il vraiment une arithmétique ordinale ?

La réponse est oui, et il est possible de donner un sens à des expressions telles que :

$$ω^ω+ω^65+ω7+15534$$
Les définitions sont un petit peu techniques, il faut avoir l'habitude des opérations sur les ensembles.

Pour l'addition de deux ordinaux quelconques $α$ et $β$ :

$α+0≝α$
$α+(β+1)≝(α+β)+1$
si $β$ est un ordinal limite, alors $α+β≝⋃↙{λ∈β}(α+λ)$

De manière symétrique, pour la multiplication :

$α0≝0$ ; (l'ensemble vide $∅$)
$α(β+1)≝αβ+α$
si $β$ est un ordinal limite, alors $αβ≝⋃↙{λ∈β}(αλ)$

Et enfin pour l'exponentiation (puissance) :

$α^0≝1$ ; c'est à dire $\{∅\}$
$α^{β+1}≝α^βα$
si $β$ est un ordinal limite, alors $α^β≝⋃↙{λ∈β}(α^λ)$

Attention, il y a quelques surprises ! Par exemple $1+ω$ est un ensemble constitué d'un élément (notons-le $x$) que l'on a fait suivre de tous les entiers dans une chaîne d'inclusion, suivant le (Ⅲ) de la définition de l'addition ci-dessus. L'ordre dans $1+ω$ ressemble donc à :

$$x⊂0⊂1⊂2⊂3⊂...$$
C'est un simple décalage, et on peut construire une bijection croissante $f$ entre $ω$ et $1+ω$ avec $f\text " ":(0↦x\text" ; "n↦n-1, n≥1)$ - de sorte qu'en fait $1+ω=ω$. Cette addition n'est pas commutative. La multiplication ne l'est pas non plus, et $2ω=ω$. Ceci explique la notation $ω2$ utilisée plus haut. Par contre on peut démontrer que cette addition et cette multiplication sont associatives. Cela justifie l'écriture sans parenthèses donnée en exemple tout au début de cette partie.

L'exponentiation possède des propriétés encore plus étranges. Si on a bien $α^βα^γ=α^{β+γ}$, on n'a généralement pas égalité entre $(αβ)^γ$ et $α^γβ^γ$. Par contre on a bien $(α^β)^γ=α^{βγ}$. Attention à l'ordre dans cette dernière égalité, rappellez-vous que $βγ≠γβ$ dans le cas général ! Et de fait, si on applique le (Ⅲ) de la définition de cette puissance, on peut remarquer assez facilement que $2^ω=ω$ ; l'ordinal $2^ω$ correspond en effet à simplement lister toutes les puissances finies de $2$ dans l'ordre croissant.

$$2^ω=\{1,2,4,8,16,32,...\}$$
A partir du moment où on dispose d'opérations - certes aux propriétés singulières - c'est tout comme si on avait créé de nouveaux nombres, et de fait on rencontre fréquemment la dénomination nombre ordinal ou nombre transfini.

Il est possible de définir des suites (une liste ordonnée de termes) non plus simplement sur $ℕ$ mais sur un ordinal, par exemple $(u_α)_{α∈ω^2}$ ; les termes de la suite sont alors $u_0,u_1,...,u_ω,u_{ω+1},...,u_{ω2},...$

Il y a même alors moyen d'effectuer des raisonnements par « récurrence transfinie » lorsque considérer des indices sur $ℕ$ uniquement ne suffit plus !

Où ces opérations nous mènent-t-elles ensuite ?

Après $ω^ω$ vu précédemment, nous allons retrouver $ω^{ω^ω}$, puis des ordinaux de la forme $ω^{ω^{ω^{^{·^{·^{·^{ω}}}}}}}$. L'ordinal limite qui contient alors tous ceux que l'on peut obtenir avec les opérations (sommes, produits et puissances) vues ci-dessus, et utilisant $ω$, est noté $ε_0$.

Mais on peut ensuite recommencer à partir de là, et obtenir $ε_0^{ε_0}$ puis $ε_0^{ε_0^{ε_0}}$ jusqu'à $ε_1=ε_0^{ε_0^{ε_0^{^{·^{·^{·}}}}}}$. Ah oui ça devient dingo, mais ce n'est pas fini... Pourquoi s'arrêter ? Viennent ensuite $ε_2$, puis $ε_3$,... Puis $ε_ω$. Ou comment compter d'énormes ensembles infinis en s'appuyant sur d'autres ensembles infinis ! Cela aboutit bien sûr à $ε_{ω^ω}$ puis $ε_{ω^{ω^ω}}$ et $ε_{ε_0}$. Est-ce que ça devient n'importe quoi ? Mathématiquement non mais philosophiquement parlant, totalement...

Est-il possible de continuer encore au-delà ?

A nouveau la réponse est oui, et nous pouvons maintenant poursuivre... Dans les indices : $ε_{ε_{ε_0}}$, $ε_{ε_{ε_{·_{·_{·_{ε_0}}}}}},...$ Tous ces nombres epsilon ont la caractéristique d'être les solutions de l'équation (d'inconnue $α$) : $α=ω^α$. On peut pousser jusqu'à l'ordinal limite qui vient après cela, et que l'on note généralement $ζ_0$ :

$$ζ_0=ε_{ε_{ε_{·_{·_{·}}}}}=\{...,ε_0,ε_{ε_0},ε_{ε_{ε_0}},...\}$$
Arrivent naturellement $ζ_1,ζ_2,...,ζ_ω,ζ_{ω+1},...$ Et ainsi de suite, cette fois l'équation caractéristique qui est vérifiée s'écrit $ε_α=α$. A partir de là, on peut définir ensuite $η_0$, venant encore après :

$$η_0=\{...,ζ_0, ζ_{ζ_0}, ζ_{ζ_{ζ_0}},...\}$$
Attention ici, il y a un petit raccourci avec les notations : tous les sous-ordinaux ne sont pas représentés dans cette notation « ensembliste » avec $\{\}$, raison pour laquelle il y a « ... » au début. Egalement, il y a bien évidemment $ζ_1, ζ_2,...,ζ_{ε_0},...$ entre $ζ_0$ et $ζ_{ζ_0}$, ce n'est pas écrit strictuement dans l'ordre dans un but de clarté.

Evidemment, en répétant ce schéma on finit par manquer de lettres grecques... Il est donc nécessaire de définir une fonction qui va représenter ces différentes limites de manière standard. On ne va pas en parler ici, mais ce qu'il est intéressant de noter c'est que tous ces ordinaux reposent sur une construction énumérative, c'est à dire qu'on peut lister leur contenu sous la forme de plusieurs suites, définies intuitivement : ils sont donc dénombrables.

Il existe alors une « limite de toutes les limites », à savoir l'ordinal qui les contient tous : le premier ordinal non dénombrable. On note généralement $\Ω$ majuscule. Au-delà, il n'est donc plus vraiment possible de « compter ». La théorie permettant de construire de nouveau ensembles ordinaux se complexifie alors quelque peu...

La subtilité des cardinaux infinis

N'y aurait-il pas tromperie sur la marchandise ?

Si tous les ordinaux contenus dans $\Ω$ sont dénombrables alors cela signifierait que ces $ω^ω$, $ε_0$ ou autres $η_{ζ_{ε_1}}$ ne sont pas vraiment différents de $ℕ$ en termes de nombre d'éléments... Cela est-il bien cohérent ? Tout l'enjeu ici, c'est justement ce que l'on entend par « nombre ». Comme dit en introduction, le troisième ordinal fini $3=\{0,1,2\}$ contient en effet trois éléments mais cela ne se passe plus de la même façon lorsqu'il s'agit d'ensembles infinis.

Tout l'objet des travaux de Cantor réside ici : l'infini y est abordé d'une manière totalement nouvelle, et ses contemporains lui ont adressé exactement la même critique de cohérence, comme à tous ceux qui osent penser différemment : on l'a traité de « charlatan » et même de « corrupteur de la jeunesse ». Il n'y a pas toujours que des personnes intelligentes sur cette Terre, même parmi les mathématiciens...

En réalité, il faut appréhender le dénombrable comme une classe particulière d'ensembles infinis qui peuvent s'indicer au moyen de $ℕ$, plutôt que de le voir comme une « taille » d'ensemble ; $ω+1$ vient après $ω$ dans l'ordre qui les caractéristique, il est factuellement plus grand que ce dernier, bien que dénombrable.

Néanmoins, et même si cela fut fort difficile, Cantor finit par faire taire ses détracteurs en démontrant qu'il y a bien des classes d'ensembles infinis qui ne sont pas dénombrables avec sa célèbre preuve diagonale concernant $ℝ$. Et plus généralement, étant donné un ensemble $E$ non vide, son célèbre théorème affirme qu'il n'existe aucune bijection entre $E$ et $\text "𝒫"(E)$, l'ensemble des parties de $E$.

Tout comme lorsqu'on affirme qu'un ensemble fini est « de cardinal $n$ », ce qui signifie qu'il est en bijection avec l'ordinal $n$, on peut définir des nombres cardinaux transfinis pour identifier entre elles ces classes d'équipotence d'ensembles infinis. Puisque que l'on utilise déjà les lettres latines pour les nombres finis et les lettres grecques pour les ordinaux quelconques, les objets de cette troisième catégorie sont désignés par des lettres hébraïques.

Ainsi $ℵ_0$ désigne le cardinal du dénombrable, c'est à dire le cardinal transfini de tous les ensembles qui peuvent être mis en bijection avec $ℕ$. Ensuite, $ℵ_1$ est le plus petit cardinal qui suit immédiatement, et qui désigne celui de tous ceux qui sont en bijection avec l'ensemble $\Ω$ : c'est le premier cardinal indénombrable. Via le théorème de Cantor on sait qu'il existe un $ℵ_2$, puis un $ℵ_3$ et ainsi de suite.

Hiérarchie de croissance rapide

Voyons maintenant une des applications les plus connues des ordinaux. Si vous aviez aimé les chaînes de Conway, alors vous allez adorer ce qui suit !

Il est possible d'aller encore plus loin que celles-ci pour désigner les grands entiers naturels, en s'appuyant sur des fonctions très fortement croissantes indexées par les ordinaux, ce qu'on appelle une hiérarchie de croissance rapide. Il en existe en effet plusieurs, définies de manières différentes par ceux qui les ont introduites.

Celle qu'on va détailler ici est la plus connue, la hiérarchie de Wainer. Il s'agit d'une suite de fonctions $(f_α)_{α∈ε_0}$ construites par itérations successives.

D'autres définitions utilisent aussi parfois la même notation avec un « $f$ » assez ambigü, mais sans précisions supplémentaires, quand on lit « hiérachie de croissance rapide » et qu'il est fait appel à des ordinaux inférieurs (appartenant) à $ε_0$, c'est généralement de la hiérarchie de Wainer dont il est question.

Dans ce qui suit, les fonctions sont définies de $ℕ$ vers $ℕ$, et on note $f^{[n]}$ l'itérée de $f$ d'ordre $n$, c'est à dire $f^{[n]}=f∘f∘...∘f$ ($n$ fois) - ceci afin de ne pas confondre avec l'exponentiation d'entiers (ou d'ordinaux) !

On débute avec la toute simple $f_0\text " ":n↦n+1$, qui n'est autre que notre application « successeur » ! La fonction suivante $f_1$ est alors construite en itérant $f_0$ autant de fois que son argument, c'est à dire que $∀n∈ℕ,f_1(n)=f_0^{[n]}(n)$, ce qui donne $f_1(n)=n+n=2n$.

En poursuivant ainsi, on obtient successivement :

$f_2(n)=f_1^{[n]}(n)=2^nn$

$f_3(n)=f_2^{[n]}(n)$, déjà supérieur à $2\text " ↑↑ "n$ (tétration) dès que $n≥2$

$f_{p+1}(n)=f_p^{[n]}(n)>2\text " ↑"^{p}\text " "n$, avec l'opérateur de Knuth d'ordre $p$

A partir de là, on passe à la limite de manière un peu particulière « par la diagonale », où on considère la fonction $f_ω$ définie par $n↦f_n(n)$. Attention ici, le nombre $n$ est bien présent deux fois, signifiant que l'on « change » la fonction à chaque nouvelle valeur de l'argument : $f_ω(3)=f_3(3)=f_2(f_2(f_2(3)))$, $f_ω(4)=f_4(4)=f_3(f_3(f_3(f_3((4)))))$, etc. On a alors $f_ω(n)≥2\text " ↑"^{n-1}\text " "n$, l'ordre de l'opérateur de Knuth est ici variable. De ce fait, $f_ω$ croît plus vite que toutes les $f_p$ et finira toujours par les majorer.

Comme vous l'imaginez, on utilise maintenant les nombres transfinis pour continuer de compter :

$f_{ω+1}(n)=f_ω^{[n]}(n)>2→n→(n-1)→2$, avec la notation des chaînes de Conway

$f_{ω+p}(n)>2→n→(n-1)→(p-1)$, pour $p≥2$

On peut alors de nouveau considérer le prochain ordinal limite en changeant les fonctions en même temps que l'argument, et obtenir $f_{ω2}$ définie par $n↦f_{ω+n}(n)$. Petite précision au passage, pour n'importe quel ordinal $α∈ε_0$, on a toujours $f_α(1)=2$. C'est parfaitement similaire au $2\text " ↑"^{n}\text " "2=2$ des opérateurs de Knuth. Donc dans la suite, on suppose que $n≥2$. Cela donne alors :

$f_{ω2+p}(n)>n→n→n→p$

$f_{ω3}(n)>n→n→n→n$

$f_{ωp}(n)>n→n→...→n→n$, chaîne de longueur $p+1$

$f_{ω^2}(n)>n→n→...→n→n$, chaîne de $n+1$ éléments dont la longueur change avec l'arguement $n$

A partir de là, la notation de Conway ne permet plus d'écrire ces nombres. Il est pourtant possible de poursuivre ainsi par sauts sucessifs entre les différents ordinaux limites de $ε_0$. Par exemple on aura $f_{ω^ω}$ définie par $n↦f_{ω^n}(n)$ puis $f_{ω^ω^ω}\text " : "n↦f_{ω^ω^n}(n)$, etc.

Et que se passe-t-il quand on arrive à $ε_0$ ? – Détails un peu plus techniques...

On peut bien sûr poursuivre avec les $ω^{ω^{ω^{^{·^{·^{·^{ω}}}}}}}$, ce qu'on pourrait noter de manière assez audacieuse $ω\text " ↑↑ "p$. Dès lors on est tenté de définir $f_{ε_0}\text " : "n↦f_{ω\text " ↑↑ "n}(n)$, et de fait, cette $f_{ε_0}$ est parfois incluse dans la hiérarchie de Wainer.

On peut alors se demander si on ne peut pas progresser au-delà, avec des $f_{ζ_0}$ et des $f_{η_{η_0}}$ mais du fait que ces ordinaux sont des tours infinies d'exposants ou d'indices vérifiant leurs équations caractéristiques $α=ω^α$, $ε_α=α$, $ζ_α=α$, ... On ne peut plus procéder aussi intuitivement (par itérations successives) qu'avec les ordinaux $α∈ε_0$.

De la même manière qu'on manquerait de lettres grecques, il devient nécessaire de définir des représentations standardisées des ordinaux limites afin de pouvoir créer d'autres hiérarchies de croissance rapide plus étendues.

Quelques exemples pour finir, histoire de voir à quel point on est dans la démesure !

$f_2(2)=8$
$f_3(2)=2048$
$f_4(2)>10\text " ↑↑ "2049$

$f_2(3)=24$
$f_3(3)>10^{121\text " "210\text " "694$
$f_4(3)>10\text " ↑↑ "10^{10^115}$

Enfin on peut montrer l'encadrement suivant :

$$f_{ω+1}(63)<G<f_{ω+1}(64)$$
Où $G$ désigne le nombre de Graham.

Et puisqu'on en parle... Pour conclure, sachez que $f_{ω^ω}(3)>G→G→...→G$, le nombre de flèches dans cette expression étant lui-même égal à $G$ (!!!)

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