1 + 2 + 3 + 4 + ... = − $\frac{1}{12}$

La page qui vous explique tout en détail...
Au sujet du plus fameux des mèmes mathématiques !

[Représentation de la fonction Zêta de Riemann]

Voici bien une égalité qui a déchaîné moult passions ces dernières années, et cela en a certainement fait le phénomène Internet lié aux mathématiques le plus marquant de l'histoire des mèmes. Il faut dire qu'il y a ici tout ce qu'il faut pour faire couler des octets, en commençant par les math haters qui ne manquent pas d'y voir une raison de plus de se conforter dans leur idée que s'ils n'y comprennent rien, c'est parce que les maths n'ont aucun sens.

Pour les autres, les questions restent nombreuses : « mais ça ne fait pas l'infini ? » « Ca peut vraiment se calculer ? » « Comment peut-on obtenir une fraction ? » « Mais pourquoi un nombre négatif ?? »

Les plus pointus d'entre vous auront reconnu ce qui se cache derrière l'image illustrant cette page, malgré son déguisement. Oui, il s'agit bien de la fonction zêta de Riemann, à laquelle est liée le fameux $1+2+3+4+...=-1/12$... Et ce, bien que ce ne soit ni l'illustre mathématicien allemand qui ait introduit ce calcul, ni que sa fonction ait été utilisée en premier lieu pour obtenir ce « résultat ».

Cette page va vous dévoiler tous les secrets de cette si mystérieuse somme des entiers !

Les formules mathématiques présentes ici sont écrites à l'aide de jqMath, et un guide sur celle-ci est disponible sur mon site !

D'où cela vient-il ?

C'est le mathématicien Srinivasa Ramanujan (1887-1920) qui est à l'origine de cette fameuse « égalité ».

[Srinivasa Ramanujan]

Ramanujan était connu pour utiliser des méthodes peu académiques, mais donnant étonamment des résultats exacts. Dans le cadre de ses travaux, il a cherché à attribuer une valeur à certaines séries divergentes, dont cette fameuse somme de tous les entiers supérieurs ou égaux à $1$.

La première méthode qu'il a utilisé consiste à passer d'abord par la série alternée des entiers $n≥1$ (c'est à dire $1-2+3-4+...$), pourtant elle aussi divergente. Il part du développement en série de la fonction $x ⟼ 1/{(1+x)^2}$ en 0, qui s'écrit pour $x∈[0, 1[$ : $$1/{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+...=∑↙{n=0}↖{+∞}(-1)^n(n+1)x^n$$
Bien que cette somme ne soit pas définie pour $x=1$, Ramanujan affirme que substituer $x$ à cette valeur permet d'obtenir :

$$1-2+3-4+...=1/{(1+1)^2}=1/{4}.$$
C'était déjà assez osé, mais attendez la suite... Si on note $S$ la somme de tous les entiers de $ℕ^*$ :

$$S=1+2+3+4+...$$
Alors on peut écrire :

$$\table S, =, 1, +\text " "2, +\text " "3, +\text " "4, +\text " "5, +\text " "6, +\text " "...; 4S, =, , 4, +, 8, +, 12, +\text " "...; S-4S, =, 1, -\text " "2, +\text " "3,-\text " "4,+\text " "5,-\text " "6,+\text " "...$$
Ici, les termes de $4S$ sont volontairement décalés sur les indices pairs, ce qu'on peut voir comme un « rajout » de zéros intermédiaires ($0+4+0+8+0+12+...$)

Puisque la valeur $1/4$ a été attribuée à somme en troisième ligne, il vient que $S-4S=-3S=1/4$ et par conséquent :

$$S = 1+2+3+4+...=-1/{12}.$$

La « méthode » moderne, devenue un mème – cliquez pour afficher

La « démonstration » qui a fait tant de bruit oublie les développement en série, et ne fait appel qu'à de simples manipulations algébriques.

Si on note $A$ la somme alternée des entiers, qui comprend donc une infinité de termes, « on peut » ajouter $A$ à une version décalée vers la droite d'elle-même :

$$\table 2A, =, 1,-2+3-4+5-6+...; , , ,+1-2+3-4+5-...; , =, 1,-1+1-1+1-1+...$$
On note $B$ cette seconde somme et on effectue exactement la même manipulation :

$$\table 2B, =, 1,-1+1-1+1-1+...; , , ,+1-1+1-1+1-...; , =, 1,-0+0-0+0-0+...$$
Ce qui « donne » $2B=1$, puis $B=1/2$, et on retrouve alors $A=1/4$. Puisque $A=S-4S$ (vu ci-dessus) alors $S=-1/12$.

Ramanujan va obtenir d'autres « égalités » similaires en calculant la somme de tous les carrés, de tous les cubes... En particulier, celle des carrés est « nulle » : $1^2+2^2+3^2+4^2+...=0$ ! On donne désormais le nom de sommes de Ramanujan à ces égalités, ou on parle de méthode de sommation de Ramanujan.

Est-ce que c'est vraiment légal ?

La facilité avec laquelle on arrive à ce « résultat » surprenant explique déjà en grande partie la célébrité de celui-ci.

Mais autant le dire de suite : ce raisonnement est très incomplet et vous vaudrait un beau zéro pointé à n'importe quelle épreuve sérieuse de mathématiques. Qui plus est, « associer une valeur » ne signifie pas « égalité ». Il est possible d'associer la valeur 1 à l'expression $0^0$ lorsque c'est commode. Mais $0^0$ n'en reste pas moins indéfini, et une série divergente ne devient pas convergente « comme par magie ».

Le principal problème ici, c'est qu'en cherchant à « calculer » $1+2+3+4+...$ à partir d'autres manipulations algébriques, ou en partant du développement en série d'une expression différente de $1/{(1+x)^2}$, on pourrait très bien ne pas obtenir $-1/12$.

Ramanujan va développer ultérieurement une théorie plus rigoureuse des séries divergentes, mais cela fait appel à des formules de développement que l'on ne voit pas à l'école et à des intégrales, ce qui se prête de suite moins bien à en faire un bon mème Internet. C'est détaillé quelque peu dans la troisième partie de cette page.

L'idée n'était pas nouvelle, et un certain nombre de mathématiciens ont précédé Ramanujan dans ce domaine.

D'autres méthodes plus anciennes, permettant d'associer des valeurs à des séries divergentes – cliquez pour afficher

Il existe, par exemple, la méthode de sommation de Ernesto Cesàro (1859-1906) : on considère une série de terme général $(a_n)_{n≥1}$ dont on note $s_k$ la somme partielle jusqu'au rang $k$ :

$$s_k=∑↙{n=1}↖ka_n$$
Alors s'il existe un nombre $C∈ℝ$ tel que :

$$\lim↙{n→+∞}\text " "1/n∑↙{n=1}↖ks_k=C$$
On dit que la suite $(a_n)_{n≥1}$ est Cesàro-sommable de somme $C$.

Ceci permet notamment d'attribuer la valeur $1/2$ à la somme $1-1+1-1+...$ et l'avantage de cette méthode de sommation, c'est qu'elle reste compatible avec la convergence usuelle : si $∑a_n$ vérifie cette propriété avec un certain $C$ tout en convergeant réellement, alors sa somme (au sens usuel) sera également $C$.

Une méthode plus forte est celle qui a été définie par Niels Henrik Abel (1802-1829), où l'on s'intéresse aux séries de la forme :

$$∑↙{n=0}↖{+∞}a_n\e^{-nx},\text " " x∈ℝ$$
En posant $z=\e^{-x}$, alors on définit $A$, somme d'Abel, par :

$$A=\lim↙{z→1^{-}}∑↙{n=0}↖{+∞}a_nz^n$$
Cette méthode est compatible avec celle de Cesàro, et elle permet notamment d'attribuer la valeur $1/4$ à la fameuse somme alternée $1-2+3-4+...$

Cependant, Ramanujan est allé encore plus loin car ces différentes méthodes ne suffisent pas à elles seules à obtenir $1+2+3+...=-1/12$.

Les plus ardents défenseurs de cette égalité et du $-1/12$ « qui vaut l'infini » savent toutefois très bien que ces « astuces » de calcul par décalage de sommes sont complètement fumeuses. Mais cela ne suffit pas à mettre un terme aux débats car eux se reposent sur plusieurs autres arguments, notamment celui qui est lié à la fonction zêta de Riemann, réputé comme étant le plus solide.

Une justification via la fonction zêta ?

C'est le moment d'entrer dans la partie subtile et délicate, et qui se veut être une réponse définitive permettant de « démontrer » cette désormais si célèbre curiosité. Alors attention c'est un peu velu, et c'est aussi ce qui fait que ce n'est pas souvent très bien compris... Aussi vais-je essayer d'être synthétique au maximum.

La fonction ζ (zêta), introduite par Bernhard Riemann (1826-1866), est l'une des plus connues en analyse complexe, notamment pour son lien avec la répartition des nombres premiers et la fameuse hypothèse de Riemann, le problème non démontré à ce jour le plus connu.

Vous savez probablement déjà que la série $∑↙{n≥1}1/n$ diverge, mais que si $n$ est élevé à un certain exposant supérieur à 1, on obtient des séries convergentes. On peut même en calculer la somme pour les puissances entières et paires : $∑↙{n≥1}1/{n^2}=π^2/6$, $∑↙{n≥1}1/{n^4}=π^4/90$, $∑↙{n≥1}1/{n^6}=π^6/945$, etc.

Plus généralement, étant donné n'importe quel nombre complexe $s\text " ":\{s∈ℂ\/\Re (s)>1\}$, on peut définir une fonction $ζ_0$ par :

$$ζ_0(s)=∑↙{n=1}↖{+∞}1/{n^s}=1+1/{2^s}+1/{3^s}+1/{4^s}+...$$
Je ne vais pas rentrer dans les détails de l'exponentiation complexe ni dans ceux de la bonne convergence de la chose, mais sachez que « ça fonctionne ».

Là où je vais aller un peu plus loin ans les explications, c'est sur ce qu'on appelle le prolongement analytique, que vous ne connaissez peut-être pas, et qui est au coeur de cet argument « massue » en faveur du $-1/12$. Il s'agit d'une notion centrale en théorie des fonctions holomorphes, c'est à dire la branche des mathématiques étudiant les fonctions de $ℂ$ dans $ℂ$ dérivables, avec une définition de la dérivabilité parfaitement symétrique à celle des fonctions à variable réelle.

Un théorème affirme que deux fonctions holomorphes $f\text " ":U→ℂ$ et $g\text " ":U→ℂ$ définies sur un domaine $U$ (c'est à dire un sous-ensemble de $ℂ$ qui soit ouvert et connexe) qui coïncident sur un voisinage d'un point quelconque de $U$ sont en fait égales sur tout $U$.

Oui cela paraît très étonnant, mais c'est une illustration la force de la dérivabilité complexe. Il se trouve que la fonction $ζ_0$ vue plus haut est holomorphe sur son ensemble de définition, qui est un domaine. Donc si l'on peut trouver une certaine fonction ζ holomorphe sur un autre domaine $D$ de $ℂ$ plus grand que le demi-plan ouvert sur lequel est définie $ζ_0$, mais qui est égale à $ζ_0$ sur ce même demi-plan, alors celle-ci sera unique. Toute autre fonction $f$ définie sur le même domaine et étant aussi égale à $ζ_0$ sur son demi-plan de définition vérifiera nécessairement $f=\ζ$. A partir de là, ζ se nomme prolongement analytique de $ζ_0$ au domaine $D$.

Un des prolongements possibles, permettant de définir la fonction zêta de Riemann sur $ℂ\\\{1\}$ – cliquez pour afficher

On commence d'abord par définir une fonction $ζ_1$ à l'aide de l'expression suivante : valable sur $D=ℂ\\ℕ^*$ :

$$ζ_1(s)={\e^{-\iπs}\Γ(1-s)}/{2\iπ}{∮}_{L}{u^{s-1}}/{\e^u-1}du$$
Ici, Γ est la fonction gamma (elle-même déjà issue d'une définition par prolongement analytique sur $ℂ\\ℤ_{-}$) et $L$ est un lacet longeant l'axe réel et englobant 0, défini par $L=L_1∪L_2∪L_3$ avec :

$L_1$ qui est la demi-droite $[r,+∞[$ avec $0<r<2π$, décrite à partir de $+∞$ jusqu'à $r$ ;
$L_2=\{r\e^{{\i}t}, 0<t<2π\}$, c'est à dire le cercle de rayon $r$ décrit dans le sens trigonométrique ;
$L_3$ qui est à nouveau la demi-droite $[r,+∞[$, décrite cette fois de $r$ jusqu'à $+∞$.

Le résultat s'obtient en faisant tendre $r$ vers 0.

Une fois cette égalité prouvée sur $D$, on complète avec les valeurs de $ζ_0(n)$ pour $n≥2$, et cela permet d'obtenir une fonction ζ définie sur tout $ℂ\\\{1\}$ grâce à l'unicité du prolongement analytique.

Pffioouuu ! Bon j'espère ne pas vous avoir trop largués, parce que c'est maintenant qu'on arrive au clou du spectacle et à notre fameuse somme des entiers.

A l'aide de n'importe lequel des prolongements de ζ, on peut montrer notamment que $\ζ(-1)=-1/12$. Ah tiens, voilà qui est intéressant... Si l'on reprend l'expression initiale de la fonction $ζ_0$ que l'on avait défini, on sait que notre nouvelle fonction ζ prend les mêmes valeurs ζ$(s)$ que cette expression pour $\Re(s)>1$.

Il n'en faut pas davantage pour que raccourci soit fait, « justifié » par l'unicité du prolongement analytique. Tout comme Ramanujan, qui avait évalué en $x=1$ son développement en série, certains prétendent qu'on peut légitimement remplacer $s$ par $-1$ dans l'expression $∑↙{n=1}↖{+∞}1/{n^s}$ de $ζ_0$ puisqu'on a prolongé la fonction. Vu que $1/{n^{-1}}=n$, on se retrouve exactement avec la série $∑↙{n≥1}n$, dont la somme « vaut alors forcément » $-1/12$.

S'il y a une valeur que l'on doit attribuer à cette somme à l'aide d'une certaine théorie, laquelle serait cohérente avec celle de nos mathématiques usuelles, alors peut-être bien que $-1/12$ conviendrait. Mais pour autant, la somme infinie des entiers $n≥1$ ne vaut PAS $-1/12$ tout simplement parce que cette somme n'est pas définie.

Voici où la réalité nous rattrappe : il ne faut pas confondre une fonction, l'expression d'une fonction et le prolongement d'une fonction. Si votre professeur de mathématiques vous a quelque peu enquiquiné en vous disant qu'on ne dit pas « la fonction $x^2$ » ni « la fonction $f(x)=x^2$ » mais qu'il faut dire « la fonction $f$, qui à un réel $x$ quelconque associe son carré $x^2$ », ce que l'on note rigoureusement par :

$$\table f\text " ":, ℝ, →, ℝ; ,x, ⟼, x^2$$
Alors c'est que c'était un bon professeur ! L'expression $x^2$ est l'une de celles de $f$, mais il ne s'agit pas de $f$.

En l'occurence $∑↙{n=1}↖{+∞}1/{n^s}$ est une expression de la fonction zêta de Riemann qui est valable pour $\Re(s)>1$ mais elle n'est absolument pas valable en dehors de ce demi-plan ouvert, et n'est en aucun cas « la fonction ζ ». Généraliser cette expression puis en déduire des égalités fondées sur les valeurs effectivement prises par la fonction prolongée est une erreur de logique.

Oui c'est assez subtil je sais, mais c'est justement là que réside toute la controverse. C'est un peu « bah oui ça marche, mais en fait non ».

Un exemple plus simple d'erreur de logique conduisant à un résultat faux, pour vous permettre de bien comprendre – cliquez pour afficher

On part de l'équation $(E)$ suivante : $x^2+x+1=0$, pour $x∈ℝ$.

Il vient alors :

$$\table x+1=-x^2; x(x+1)+1=0\text " "(E')$$
Ce qui donne, en substituant $(x+1)$ par $-x^2$ dans $(E')$ :

$$\table x(-x^2)+1=0; -x^3=-1; x^3=1\text " "(E")$$
Montrons alors que le seul nombre $x∈ℝ$ qui vérifie l'égalité $(E")$ est 1. En effet $1^3=1$ bien entendu, et la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f:\text " "x ⟼ x^3$ est continue et strictement croissante sur ℝ. De plus, $\lim↙{-∞}f=-∞$ et $\lim↙{+∞}f=+∞$. Il s'agit donc d'une bijection de $ℝ$ dans lui-même, ce qui fait de 1 l'unique valeur de $x$ vérifiant $f(x)=1$.

Mais si $x=1$, alors en substituant dans $(E)$ on obtient $1+1+1=0$.

Ici, le problème n'est que logique. Ne cherchez pas d'erreur de calcul, et l'utilisation de la propriété de bijectivité est justifiée par toutes les bonnes hypothèses.

Il y a plusieurs façons de voir où l'erreur s'est glissée. On peut considérer que l'équation $(E)$ définit (éventuellement) des valeurs particulières de $x$ alors que le raisonnement menant à $(E")$ s'appliquerait à tout réel $x$. Ou bien constater que le passage de $(E)$ à $(E")$ s'est fait par des implications simples et non par des équivalences.

Tout ce que l'on a montré ici, c'est que $S_E⊂S_{E"}$, en utilisant les notations usuelles pour les ensembles des solutions d'une équation. Mais en aucun cas on a établi l'égalité. La bonne démarche, puisque $S_{E"}=\{1\}$ (ça c'est vrai), c'est de maintenant vérifier si 1 est aussi une solution de $(E)$. Et bien évidemment, $3≠0$ donc $1∉S_E$ et nécessairement $S_E=∅$. L'équation $(E)$ de départ n'a aucune solution réelle.

De la même manière, on peut dire que si l'expression $∑↙{n=1}↖{+∞}1/{n^s}$ pouvait se voir attribuer une valeur lorsque $s=-1$, alors $-1/12$ « conviendrait ». Mais vu qu'on peut montrer dans ce cas que la série diverge trivialement, alors c'est un non. Pour $s=-1$, cette somme n'a aucune valeur réelle (ou complexe).

Mais alors pourquoi cela a-t-il l'air de « fonctionner » si bien ?

Les valeurs de ζ prises aux nombres entiers négatifs coïncident en effet avec les valeurs des sommes de Ramanujan.

On a par exemple ζ$(-2)=0$ et ζ$(-3)=1/120$, ce qui s'aligne avec les « valeurs » de $1^2+2^2+3^2+4^2+...$, de $1^3+2^3+3^3+4^3+...$, et ainsi de suite.

D'où vient cette coïcidence ? N'est-ce pas étrange qu'une égalité fausse (car l'un des membres n'est pas défini) puisse avoir l'air d'être aussi vraie ? Il y a en effet un lien, et Ramanujan ne s'est pas contenté de sortir des valeurs telles des lapins d'un chapeau - même si ce fut un peu le cas en premier lieu. 😂 Il se trouve que le lien, c'est la formule de Euler-Maclaurin, découverte à la fois par Leonhard Euler (1707-1783) et Colin Maclaurin (1698-1748) qui cherchaient tous les deux à calculer des valeurs approchées de sommes de séries et d'intégrales (hé oui, il n'y avait pas d'ordinateurs à l'époque...)

Pour deux entiers relatifs $p$ et $q$ (avec $p<q$) et une fonction $f$ de $ℝ$, à valeurs dans $ℝ$ ou $ℂ$, dérivable de dérivée continue sur $[p,q]$, alors :

$$∑↙{k=p}↖qf(k)={f(p)+f(q)}/2+∫_p^qf(x)dx+R_0$$
Avec le reste $R_0$ valant :

$$R_0=∫_p^qf'(x)(x-[x]-1/2)dx$$
Où $[x]$ désigne la partie entière de $x$.

Or il se trouve qu'une des méthodes permettant de prolonger analytiquement la fonction ζ fait justement appel à la formule d'Euler-Maclaurin, appliquée à la fonction $x ⟼ x^{-s}$. Et c'est aussi avec celle-ci que Ramanujan a pu poser le cadre théorique lui ayant permis de « sommer » ses séries divergentes. Il a appliqué la formule d'Euler-Maclaurin aux sommes partielles, puis il est passé à la limite « comme s'il en existait une ». Par suite, il optient alors une valeur pour cette limite qui se retrouve liée à celles des intégrales de la formule.

Ramanujan expliquait qu'il avait extrait la valeur de la partie finie de la somme infinie, tout comme on peut déterminer la partie réelle d'un nombre complexe.

Illustration (par des exemples) de la manière dont Ramanujan a fait le lien, ce qui lui a permis de théoriser sa méthode de sommation – cliquez pour afficher

Reprenons le cas de notre série mémétique $1+2+3+4+...$, dont vous connaissez bien sûr la célébrissime formule de somme partielle :

$$1+2+3+...+n=∑↙{k=1}↖nk={n(n+1)}/2$$
Définissons alors la fonction $x ⟼ {x(x+1)}/2$ de $ℝ$ vers $ℝ$ à partir de cette expression. Celle-ci s'annule pour $x=-1$ et $x=0$ et autour de ces deux points, sa courbe représentative ressemble à ceci :

[Graphe x(x+1)/2]

Maintenant, « coupons » les deux branches infinies pour ne conserver que la « partie finie » de la fonction, plus précisément sa restriction à l'intervalle $[-1,0]$.

Que vaut alors l'aire algébrique 𝒜 de la zone verte ?

$$\text "𝒜"=∫_{-1}^0{x(x+1)}/2dx=[{x^3}/6+{x^2}/4]_{-1}^0=-1/12$$
Magnifique ! Et cela se généralise. Pour la somme des carrés, on a :

$$∑↙{k=1}↖n{k^2}={n(n+1)(2n+1)}/6$$
La fonction définie par $x ⟼ {x(x+1)(2x+1)}/6$ s'annule également pour $x=-1$ et $x=0$, et pour aucune autre valeur en dehors de $[-1,0]$. Mais inutile de refaire un dessin, car il y a cette fois en plus le zéro $-1/2$ en embuscade. Posons $u=x+1/2$, on a $du=dx$ et on obtient alors l'intégrale symétrique d'une superbe fonction impaire :

$$∫_{-1}^0{{x(x+1)(2x+1)}/6}dx={1/6}∫_{-1/2}^{1/2}(2u^3-u/4)du=0$$
Et voici comment Ramanujan nous « annule » la somme de tous les carrés !

Alors est-ce que cela prouve définitivement qu'en réalité l'infini vaut $-1/12$, $0$ ou $1/120$ ? Toujours pas, et sortir la théorie de Ramanujan du contexte pour lequel elle a été élaborée est à nouveau une erreur de logique, et ne peut qu'amener à des déconvenues. C'est exactement comme écrire incorrectement que $\i=√{-1}$ (si votre professeur de mathématiques vous a interdit de le faire, c'est aussi un signe qu'il était bon) car la formule du produit des racines $√{ab}=√a√b$ produit des résultats incohérents si l'on tente de l'utiliser dans $ℂ$. Vous conviendrez que $9\i×3\i$ vaut $-27$, mais la formule tendrait à faire croire que ce produit vaut $27$.

Ramanujan lui-même ne prétendait pas que ces sommes étaient finies, ce qui l'aurait rendu « bon pour l'asile » selon ses propres termes !

Une célèbre utilisation en physique

Ce qui précède clôt normalement le débat, mais bien sûr comme toujours sur Internet, ceux qui défendent ardemment le $-1/12$ ne manquent pas d'arguments supplémentaires... L'un de ceux-ci est lié à l'emploi de la fameuse « valeur » de la somme des entiers qu'en a fait le physicien Hendrik Casimir (1909-2000) lorsqu'il a décrit l'effet qui porte son nom. Il est parvenu, de cette manière, à obtenir une formule juste, validée expérimentalement.

Oui, une formule décrivant un phénomène réel a fait intervenir $1+2+3+4+...=-1/12$ dans son élaboration, « preuve » incontestable que ça ne peut pas être faux !

L'effet Casimir décrit la force attractive qui apparaît entre deux plaques métalliques parallèles et non chargées, lorsque celles-ci sont suffisamment proches l'une de l'autre.

[Effet Casimir]

Ceci est dû aux fluctuations quantiques du vide. La théorie quantique prédit que l'espace vide ne peut jamais l'être réellement, et qu'il contient toujours un minimum d'énergie. Si l'on s'intéresse au champ électromagnétique en particulier, cet énergie se trouve sous la forme de photons.

Mais lorsque les plaques sont très proches, tous les photons dont la longueur d'onde est supérieure à la distance entre celles-ci ne peuvent plus « exister » dans l'espace situé entre les plaques, qui contient alors moins d'énergie que l'espace vide environnant. Vu que des photons exercent en permanence une pression de rayonnement sur une surface qui leur est exposée, le déséquilibre du nombre de photons entre ces deux zones a pour résultante une force attractive entre les plaques.

Par des considérations liées aux vibrations du champ électromagnétique, Casimir arrive à exprimer l'énergie totale entre les plaques par la splendide formule :

$$E=ħc\text " "∑↙{n=0}↖{+∞}∑↙{m=0}↖{+∞}∑↙{p=0}↖{+∞}√{{n^2π^2/{L^2}+{m^2π^2}/{D^2}+{p^2π^2}/{H^2}}$$
Ici, $c$ est la vitesse de la lumière, ħ est la constante de Planck réduite, $L$ la distance entre les plaques, $D$ et $H$ sont la longueur et la largeur des plaques. En réduisant le problème à un cas unidimentionnel et en considérant que les plaques sont très proches l'une de l'autre (donc $L≪D$ et $L≪H$), alors cela devient :

$$E={πħc}/L\text " " {|{∑↙{n=0}↖{+∞}n}|}$$
Mince alors, on obtient l'expression d'une série divergente... Mais il se trouve que Casimir connaissait les travaux de Ramanujan. Il remplace donc audacieusement cette somme infinie par la fameuse valeur pour obtenir :

$$E={πħc}/{12L}$$
La norme algébrique de la force s'exerçant entre les plaques est alors ${dE}/{dL}$, la dérivée de l'énergie par rapport à la distance $L$ qui les sépare, ce qui donne :

$$F=-{πħc}/{12L^2}$$
Le signe $−$ traduit son caractère attractif. Et c'est cette valeur qui fut confirmée expérimentalement par la suite.

Ca alors mais c'est incroyable... Un phénomène physique bien réel fait intervenir la valeur de la somme de tous les entiers et révèle donc la « vérité » véritable, qu'il devient alors impossible de contester ! Alors peut-être bien que oui... Mais en réalité c'est à nouveau non.

Néanmoins l'exemple est très intéressant (c'est bien pour cela que je l'ai inclus) car il illustre la manière dont on interprète les modèles théoriques de la physique pour en tirer des explications (et des mesures) aux phénomènes qui nous entourent.

Réduire un problème à une seule dimension puis négliger certaines valeurs par rapport à d'autres est après tout très similaire à ce qu'a fait Ramanujan avec le développement en série de $1/{(1+x)^2}$. Lorsque $x$ est très proche de $1$, ce développement va évidemment produire une valeur très proche de $1/4$, et on peut l'utiliser pour des valeurs aussi proches de $1$ que l'on veut.

C'est une peu la même idée ici, et ce passage à la limite fait par Casimir reste tout à fait légitime pour parvenir à un modèle théorique démontrant l'existence et l'intensité de la force entre les plaques. Une autre manière de voir les choses, c'est de considérer qu'à une échelle macroscopique (la taille des plaques), il y a tellement de photons existant entre et en dehors des plaques qu'on peut considérer que c'est l'infini.

La différence de l'énergie entre l'extérieur et l'intérieur peut très bien être finie tout en apparaissant, dans le modèle théorique, sous la forme d'une différence de deux infinis. Cela se rapproche d'ailleurs de l'interprétation de la formule d'Euler-Maclaurin par Ramanujan servant à « extraire la partie finie ».

Mais cela ne transforme pas une série numérique divergente, qui elle existe en dehors de tout cadre physique, en une série convergente au sens mathématique !

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